Гипотеза Пуанкаре: формулировка и доказательство
Практически каждый человек, даже тот, кто не имеет никакого отношения к математике, слышал слова «гипотеза Пуанкаре», но не все могут объяснить, в чем ее суть. Для многих высшая математика кажется чем-то очень сложным и недоступным для понимания. Поэтому попробуем разобраться, что же означает гипотеза Пуанкаре простыми словами.
Содержание:
Что такое гипотеза Пуанкаре?
Формулировка гипотезы в оригинале звучит так: «Всякое компактное односвязное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере».
Шар – это геометрическое трехмерное тело, его поверхность называется сферой, она двумерна и состоит из точек трехмерного пространства, которые равноудалены от одной, не принадлежащей этой сфере, точки – центра шара. Кроме двумерных сфер, существуют еще трехмерные сферы, состоящие из множества точек четырехмерного пространства, которые так же равноудалены от одной, не принадлежащей сфере, точки – ее центра. Если двухмерные сферы мы можем увидеть собственными глазами, то трехмерные не подвластны нашему зрительному восприятию.
Поскольку мы не имеем возможности увидеть Вселенную, то можно предположить, что она и есть трехмерная сфера, в которой живет все человечество. В этом и состоит сущность гипотезы Пуанкаре. А именно то, что Вселенная имеет следующие свойства: трехмерность, бескрайность, односвязность, компактность. Понятие «гомеоморфность» в гипотезе означает высочайшую степень схожести, подобия, для случая со Вселенной – неотличимость.
Кто такой Пуанкаре?
Жюль Анри Пуанкаре – величайший математик, который родился в 1854 году во Франции. Его интересы не ограничивались только математической наукой, он изучал физику, механику, астрономию, философию. Был членом более 30 научных академий мира, в том числе Петербургской академии наук. Историки все времен и народов причисляют к величайшим математикам мира Давида Гильберта и Анри Пуанкаре. В 1904 году ученый издал знаменитую работу, которая содержала предположение, известное на сегодняшний день как «гипотеза Пуанкаре». Именно трехмерное пространство для математиков оказалось очень сложным для исследования, найти доказательства других случаев не составило труда. В течение около одного столетия доказывалась истинность этой теоремы.
В начале ХХІ века в Кембридже была учреждена премия в один миллион долл. США за решение этой научной задачи, которая входила в список проблем тысячелетия. Только российский математик из Санкт-Петербурга Григорий Перельман смог это сделать для трехмерной сферы. В 2006 году за это достижение ему была присвоена медаль Филдса, но он отказался от ее получения.
К заслугам в научной деятельности Пуанкаре можно отнести следующие достижения:
- основание топологии (разработка теоретических основ различных явлений и процессов);
- создание качественной теории дифференциальных уравнений;
- разработка теории аморфных функций, которая стала основой специальной теории относительности;
- выдвижение теоремы о возвращении;
- разработка новейших, эффективнейших методов небесной механики.
Доказательство гипотезы
Односвязному трехмерному пространству присваиваются геометрические свойства, оно разделяется на метрические элементы, которые имеют расстояния между собой с образованием углов. Для упрощения берется в качестве образца одномерное многообразие, в котором на эвклидовой плоскости к гладкой замкнутой кривой проводятся в каждой точке касательные вектора, равные 1. При обходе кривой вектор поворачивается с определенной угловой скоростью, равной кривизне. Чем сильнее изгиб линии, тем больше кривизна. Кривизна имеет положительный наклон, если вектор скорости повернут в сторону внутренней части плоскости, которую делит линия, и отрицательный, если повернут вовне. В местах перегиба кривизна равна 0. Теперь каждой точке кривой назначается вектор, перпендикулярный вектору угловой скорости, а длиной равный величине кривизны. Он повернут внутрь, когда кривизна имеет положительный наклон, и вовне – когда отрицательный. Соответствующий вектор определяет направление и скорость, с которой движется каждая точка на плоскости. Если провести в любом месте замкнутую кривую, то при такой эволюции она превратится в окружность. Это справедливо для трехмерного пространства, что и требовалось доказать.
Пример: из воздушного шара при деформации без разрывов можно сделать разные фигуры. Но бублик сделать не получится, для этого его нужно только разрезать. И наоборот, имея бублик, никак не сделаешь цельный шар. Хотя из любой другой поверхности без разрывов при деформации можно получить сферу. Это свидетельствует о том, что эта поверхность гомеоморфна шару. Любой шар можно обвязать ниткой с одним узлом, с бубликом это сделать невозможно.
Шар – это самая простая трехмерная плоскость, которую можно деформировать и свернуть в точку и наоборот.
